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怎么样解三次方程 应该怎么做?

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三次方程的最高次数为3次,它有3个解,或者说3个根,方程本身的形式是ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。虽然三次方程令人望而生畏,并且确实很难解,但在具备大量基础知识的前提下,使用正确的方法,那么即使是最棘手的三次方程问题也可以得到解决。三次方程的解法有很多种,你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

1解不含常数项的三次方程

以Solve a Cubic Equation Step 1为标题的图片

1检查三次方程,看是否包含常数项d{\displaystyle d}三次方程的形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。但是,唯一必要的关键项是x3{\displaystyle x^{3}},这意味着三次方程中未必会出现其他项。[1]

如果方程中包含常数项d{\displaystyle d},那么你必须使用另一种解法。

如果a=0{\displaystyle a=0},那么这个方程就不是三次方程。[2]

以Solve a Cubic Equation Step 2为标题的图片

2提取方程的公因式x{\displaystyle x}由于方程没有常数项,所以其中各项都包含变量x{\displaystyle x}。也就是说,可以提取方程的公因式x{\displaystyle x}来简化方程。这样做之后,可以将方程重写为x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}[3]

例如,假设我们一开始要解的方程是3x3?2x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}

提取方程的公因式x{\displaystyle x},得到x(3x2?2x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}

以Solve a Cubic Equation Step 3为标题的图片

3如果可能,将得到的二次方程因式分解。很多情况下,提取公因式x{\displaystyle x}后得到的二次方程ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}都能被因式分解。例如,如果要解x3+5x2?14x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0},你可以:[4]

提取公因式x{\displaystyle x}x(x2+5x?14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}

将括号内的二次方程因式分解:x(x+7)(x?2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}

设各因式等于0{\displaystyle 0}。得到方程的解x=0,x=?7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}

以Solve a Cubic Equation Step 4为标题的图片

4如果无法手动对括号内的部分进行因式分解,请使用二次公式求解。你可以将a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}的值代入二次公式(?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}})中,算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。[5]

示例中,将a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}的值3{\displaystyle 3}?2{\displaystyle -2}14{\displaystyle 14}分别代入到以下二次公式:?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}?(?2)±((?2)2?4(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}2±4?(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}2±(4?1686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}2±?1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}

解1:2+?1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}2+12.8i6{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}

解2:2?12.8i6{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

以Solve a Cubic Equation Step 5为标题的图片

5零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解,而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解,即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程,第三个解一定为0{\displaystyle 0}[6]

将方程分解为包含两个因式的形式x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0},左边的因式是变量x{\displaystyle x},右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于0{\displaystyle 0},则整个方程等于0{\displaystyle 0}

因此,使括号内的二次因式等于0{\displaystyle 0}的两个解是三次方程的解,而使左边因式等于0{\displaystyle 0}0{\displaystyle 0}本身,也是三次方程的解。

2使用因数表求整数解

以Solve a Cubic Equation Step 6为标题的图片

1确保三次方程有一个d{\displaystyle d}值不等于零的常数项。如果形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}的方程拥有一个不等于零的d{\displaystyle d}值,就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心,你还可以使用其他方法,比如下文描述的方法。[7]

以方程2x3+9x2+13x=?6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}为例。这个方程中,要让等号的右边等于0{\displaystyle 0},你需要两边都加6{\displaystyle 6}

得到新的方程2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}。由于d=6{\displaystyle d=6},你无法使用二次方程方法。

以Solve a Cubic Equation Step 7为标题的图片

2找出a{\displaystyle a}d{\displaystyle d}的因数。要解三次方程,我们需要先关注x3{\displaystyle x^{3}}项的系数a{\displaystyle a}以及方程最后的常数项d{\displaystyle d},找出它们各自的因数。记住,如果两个数字相乘得到另一个数,那么这两个数就是乘积的因数。[8]

例如,由于你可以用6×1{\displaystyle 6\times 1}2×3{\displaystyle 2\times 3}得到6,所以12366的因数。

例题中,a=2{\displaystyle a=2},而d=6{\displaystyle d=6}2的因数是126的因数是1236

以Solve a Cubic Equation Step 8为标题的图片

3a{\displaystyle a}的因数除以d{\displaystyle d}的因数。a{\displaystyle a}的各因数除以d{\displaystyle d}的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数,要么是其中一个整数的相反数。[9]

例题中,用a{\displaystyle a}的因数12除以d{\displaystyle d}的因数1236,得到:1{\displaystyle 1}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}2{\displaystyle 2}23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}。然后,我们将各数字的相反数加入进去,使之更加完整:1{\displaystyle 1}?1{\displaystyle -1}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}?12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}?13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}?16{\displaystyle -{\frac {1}{6}}}2{\displaystyle 2}?2{\displaystyle -2}23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}?23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}。三次方程的整数解就在其中。

以Solve a Cubic Equation Step 9为标题的图片

4手动代入整数,这种方法较为简单,但可能会耗费较长时间。得到相除的结果后,你可以迅速将整数手动代入,看哪些能让三次方程等于0{\displaystyle 0},进而求出方程的解。例如,如果将1{\displaystyle 1}代入方程,可以得到:[10]

2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6},即2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6},结果不等于0{\displaystyle 0}。因此,使用得到的下一个值。

如果将?1{\displaystyle -1}代入方程,得到(?2)+9+(?13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6},结果等于0{\displaystyle 0}。这意味着?1{\displaystyle -1}是方程的一个整数解。

以Solve a Cubic Equation Step 10为标题的图片

5使用更复杂,但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有值,可以尝试更快捷的方法,也就是所谓的综合除法。总的来说,你应该使用综合除法,用得到的整数值除以a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}。如果得到余数0{\displaystyle 0},那么这个值就是三次方程的解。[11]

综合除法是一个复杂的主题,超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解:-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0

由于得到的最终余数为0{\displaystyle 0},由此可知,?1{\displaystyle -1}是三次方程的一个整数解。

3使用判别式方法

以Solve a Cubic Equation Step 11为标题的图片

1写下a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前,记下a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值,这样之后就不会混淆。[12]

对于例题x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1},写下a=1{\displaystyle a=1}b=?3{\displaystyle b=-3}c=3{\displaystyle c=3}d=?1{\displaystyle d=-1}。注意,如果有x{\displaystyle x}变量前没有系数,这代表它的系数为1{\displaystyle 1}

以Solve a Cubic Equation Step 12为标题的图片

2使用正确的公式计算判别式零用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理,但如果严格遵循方法流程,你会发现,它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先,将适当的值代入到公式Δ0=b2?3ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}中,求出第一个重要数值,即判别式零Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}[13]

判别式是一个数字,可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是(b2?4ac{\displaystyle b^{2}-4ac})。

例题中的计算过程如下:b2?3ac{\displaystyle b^{2}-3ac}(?3)2?3(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}9?3(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)}9?9=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}

以Solve a Cubic Equation Step 13为标题的图片

3然后,计算Δ1=2b3?9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}你需要的下一个重要数值是判别式1{\displaystyle 1},即Δ1{\displaystyle \Delta _{1}},它的计算过程会稍微复杂一点,但方法与Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}基本相同。将适当的值代入到公式2b3?9abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}中,得到Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值。[14]

例题中的计算过程如下:2(?3)3?9(1)(?3)(3)+27(1)2(?1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}2(?27)?9(?9)+27(?1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}?54+81?27{\displaystyle -54+81-27}81?81=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}

以Solve a Cubic Equation Step 14为标题的图片

4计算: Δ=(Δ12?4Δ03)÷?27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}。然后,我们会使用Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值计算三次方程的判别式。在三次方程中,如果判别式为正数,则方程有三个实数解。如果判别式等于零,则方程有一个或两个实数解,且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数,则方程只有一个实数解。[15]

三次方程必定有至少一个实数解,因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。

例题中,由于Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}都等于0{\displaystyle 0},所以Δ{\displaystyle \Delta }的计算相对简单。计算过程如下:(Δ12?4Δ03)÷(?27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}((0)2?4(0)3)÷(?27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}0?0÷27{\displaystyle 0-0\div 27}0=Δ{\displaystyle 0=\Delta },所以方程有一个或两个解。

以Solve a Cubic Equation Step 15为标题的图片

5计算: C=3(Δ12?4Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}。最后一个需要计算的重要数值是C{\displaystyle C}。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程,根据需要代入 Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

例题中,C{\displaystyle C}的计算过程如下:3(Δ12?4Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}3(02?4(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}3(0?0)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}0=C{\displaystyle 0=C}

以Solve a Cubic Equation Step 16为标题的图片

6使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式?(b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}计算,其中u=(?1+?3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2},而n等于123。根据需要代入数值进行计算,其中涉及到大量的数学运算,但你应该可以得到三个使方程成立的解。

你可以分别计算n等于123时公式的值,来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中,使之等于0的答案即为方程的正确解。

例如,将1代入到x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}中,计算结果为0,所以1就是三次方程的一个解。

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